Тангенсальная система координат

Концепция придумана мной в 1989(?) году, когда я еще был в седьмом классе школы №549. Недавно об этой идее мне напомнил мой одноклассник, Игорь Черкасов, и я с некоторыми переработками и усовершенствованиями излагаю ее ниже. Принимая во внимание хорошую изученность обычной математики, даю себе отчет в том, что могу изобретать велосипед, и что уже наверно есть что-то похожее, но все же смею изложить материал, т.к. мне нравится моя идея. Также прошу прощения за некоторые не очень математические термины. Итак, приступим.

Система координат состоит из двух параллельных координатных прямых: x и y. Расстояние между прямыми равно H. Для удобства проведем дополнительную прямую h, перпендикулярную обоим прямым x и y. Обозначим точку пересечения прямой h с прямой x как O, а точку пересечения прямой y с прямой h -- как O₁ Очевидно, длинна отрезка OO₁ равна H. Назовем точку O началом координат, а точку O₁ -- дополнительным началом координат.

Рассмотрение произвольной точки, не лежащей ни на одной из прямых h или x.

Пусть есть точка A, не лежащая ни на одной из прямых h или x. Опустим перпендикуляр из точки A на прямую x и получим точку A_x. Далее проведем прямую OA и получим пересечение этой прямой с прямой y -- точку A_y. Пусть координата x -- длинна отрезка OA_x, а координата y -- длинна отрезка O₁A_y.

Особые случаи

1. Точки, лежащие на координатной прямой x

Очевидно, что координата y неопределена, т.к. при этом, по аксиоме, прямая OA совпадает с прямой x, и параллельна прямой y, а следовательно не пересекает прямую y. Будем говорить, что у точки, лежащей на прямой x, координата y отсутствует. Также очевидно, что единственная координата x в данном случае однозначно определяет положение точки.

2. Точки, лежащие на прямой h

Очевидно, у всех точек на прямой равны нулю как координата x, так и координата y. Координаты точек O и O₁ -- не рассматриваются, т.к. это частные случаи второго особого случая. Заметим также, что если одна из координат в нашей системе координат равна 0, то вторая -- также должна быть равна 0, т.е. это случай 2, т.е. не может быть такого, что x=0, а y≠0, не может также быть наоборот, что x≠0 а y=0.

Преобразование из декартовых координат в тангенсальные (для не особых случаев, т.е. если точка A не подпадает в особые случаи, т.е. не лежит ни на одной из прямых h или x)

Очевидно, что

x_{декартова} = x

Очевидно, ордината точки A в декартовых координатах равна длине отрезка AA_x, равной также длине отрезка OA_h, где A_h -- проекция точки A на прямую h. Выразим y_{декартова} через тангенсальные координаты. Пусть α -- угол между прямой OA и x, тогда тангенс этого угла

tg α = H/y = y_{декартова}/х

тогда имеем пропорцию

H/y = y_{декартова}/х

откуда

y_{декартова}= H * x/y

Итак, декартовы координаты выражаются через придуманные нами, в большинстве случаев, через формулы:

x_{декартова} = x

y_{декартова}= H * x/y

В начало